Algunas Aplicaciones del Triángulo rectángulos semejantes

Triángulos rectángulos semejantes

1. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
   un ángulo agudo igual

   
   
   
   
   

2. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los
   dos catetos proporcionales

   .






3. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
   proporcionales la hipotenusa y un cateto.

   

TRIOS PITAGORICOS

Un trío pitagórico consiste de un triple de enteros positivos (a, b, c)
Estos tríos de números enteros, tambien llamados ternas pitagóricas, verifican el teorema de Pitágoras con números naturales, ejemplo 3,4,5. Ya que 32+42=52 . También son ternas Pitagóricas sus múltiplos: 6,8,10; . 9,12,15...

Aplicaciones del teorema de Pitágoras para calcular distancias entre dos puntos en un plano cartesiano

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la distancia entre
dos puntos P y Q en un plano cartesiano.
Dados dos puntos en el plano, se pueden trazar un triángulo
rectángulo de la siguiente manera.
1. Por el punto Q se traza una paralela
al eje Y.
2. Por el punto P se traza una paralela
al eje X.
3. Las paralelas trazadas se intersectan
en el punto R.
4. Se traza el PQy se completa el triángulo PQR, que resulta ser
rectángulo en R. El segmento PQ es
la hipotenusa y los segmentos
PR y RQ son los catetos
5. Se calculan las longitudes de los
catetos mediante las fórmulas:
PR= x2 - x1 = y2 - y1
6. De la relación pitagórica c2 = a2 + b2, se despeja c:







7. Se sustituye c = , a = , b = y se obtiene:















Ésta es la fórmula de la distancia entre dos
puntos en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Si P = (2, -1) y Q = (-3, -5), se tiene:
x1 = 2, x2 = -3 x2 - x1 = -5 x2 – x1 = 5
y1 = -1, y2 = -5 y2 – y1 = -4 y2 – y1 = 4

Dibujar caracola con triángulo rectángulo

El caracol de Pitágoras es una figura geométrica construida con las raíces cuadradas de totalidades consecutivas.

Todo numerados "exteriores" hacen una longitud de 1.Las longitudes de las hipotenusas son las raíces cuadradas de las totalidades consecutivas.

El caracol de Pitágoras terminado.

Teoremas relacionados con el triángulo rectángulo

Algunos teoremas que se relacionan con el triangulo rectangulo son:

• Teorema de Pitágoras


• Teorema de la altura


• Teorema del cateto

Teorema de la altura

Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa:
De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera, la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación:
"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"

Teorema del cateto

Se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma:
"El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa"

Euclides

Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 a. C.) - (265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría"

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría, Egipto. Existen algunos otros datos poco fiables. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:
Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él.
Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.
Proclo, el último de los grandes filósofos griegos, quien vivió alrededor del 450, escribió importantes comentarios sobre el libro I de los Elementos, dichos comentarios constituyen una valiosa fuente de información sobre la historia de la matemática griega. Así sabemos, por ejemplo, que Euclides reunió aportes de Eudoxo en relación a la teoría de la proporción y de Teeteto sobre los poliedros regulares.

A Thales se le atribuyen 5 teoremas los cuales son:

1. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales



2. Un circulo es bisectado por algún diámetro



3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales



4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado igual.



5. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Pero a continuación veremos los dos más importantes:

Primer teorema de Thales
Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:

Segundo teorema de Thales

OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene:
= α + β = π/2

Biografía de Thales de Mileto

Thales de Mileto (en griego Θαλής ο Μιλήσιος) (h. 639 ó 624 a. C. - h. 547/6 a. C.) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia, y el fundador de la escuela jonia de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo) y tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras. Es aparte uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época, a tal punto que era una lectura obligatoria para cualquier matemático en la Edad Media y contemporánea. Sus estudios abarcaron profusamente el área de la Geometría, Álgebra lineal, Geometría del espacio y algunas ramas de la Física, tales como la Estática, Dinámica y Óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda. Fue el primer filósofo jónico.

El triángulo rectángulo y sus aplicaciones

Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulo es recto, es decir, mide 90º
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

La expresión matemática que representa este Teorema es:
hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2
c 2 = a 2 + b 2

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

Biografía de Pitagoras

Pitágoras nació en la isla de Samos en Grecia en el 582a.C. fue educado con los principales pensadores del momento .posteriormente en el 530 a.c. se instaló en una colonia Griega del sur de Italia llamada Crotona donde fundo una nueva escuela matemática, la escuela Pitagórica.

La escuela Pitagórica también destacó por el estudio de la filosofía y la astronomía, en el primer caso se sabe que adoptó una postura platónica en lo concerniente a la separación del alma y el cuerpo y de la trans migración de la misma. El se hizo envolver de una aura de misticismo que le acompañó siempre, llegó a encerrarse en el sótano de su casa durante un tiempo para demostrar sus poderes como vidente, adivinando todo lo que había ocurrido durante su periodo de cautiverio, algunos señalaron que tal hazaña no era más que una mentira, una de muchas que se le atribuyeron.

En el área de la astronomía, Pitágoras estableció una teoría revolucionaria por la cual los diferentes cuerpos celestes giraban entorno a un centro de luz, estas órbitas circulares separaban uno de otro astro mediante la longitud de las cuerdas armónicas, es decir, creía que los astros emitían un sonido en el transcurso de su órbita cada una de ellas diferente, dándole el nombre de "armonía de las esferas". El único error fue el considerar que el firmamento era finito.
Pero quizás los rigurosos estudios en los que destacó fue sin duda las matemáticas, descubriendo el famoso teorema de Pitágoras por el cual el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Los números fueron los grandes aliados de un Pitágoras obsesionado con el uso de las matemáticas, el número era Dios, era la representación divina de todas las cosas.
Pitágoras murió en el 500 a.C.